Gromovove-Wittenove invarianty (GW) sú v matematike (konkrétne v sympletickej topológii a algebrickej geometrii) racionálne čísla, ktoré za istých situácií počítajú pseudohomologické krivky spĺňajúce predpísané podmienky za danej sympletickej priestorovosti. GW invarianty môžu byť zhrnuté ako homologická alebo kohomologická trieda vo vhodnom priestore, alebo ako deformovaný združený (cup) výsledok kvantovej kohomológie. Tieto invarianty sa používajú na rozlíšenie sympletických priestorovostí, ktoré boli predtým nerozlíšiteľné. Hrajú taktiež zásadnú úlohu v uzavretom type teórie strún IIA. Sú pomenované po Michailovi Gromovovi a Edwardovi Wittenovi.

Rigorózna matematická definícia Gromovových-Wittenových invariantov je zdĺhavá a zložitá a tak bude predmetom samostatného článku s názvom stabilná mapa. Tento článok sa pokúsi o viac intuitívne vysvetlenie toho čo invarianty sú, ako sa počítajú a prečo sú dôležité.

Definícia

Majme uzavretú sympletickú priestorovosť ${\displaystyle X}$ o rozmere ${\displaystyle 2k}$. Nech ${\displaystyle A}$ je dvojrozmerná homologická trieda v ${\displaystyle X}$, a ${\displaystyle g}$ a ${\displaystyle n}$ akékoľvek prirodzené čísla (vrátane nuly). Nech ${\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}}$ je Deligne-Mumfordov moduli priestor kriviek s génom ${\displaystyle g}$ s ${\displaystyle n}$ vyznačenými bodmi. Pre vybranú takmer komplexnú štruktúru J na X kompatibilnú s jej sympletickou formou, nech ${\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}(X,A)}$ je moduli priestor stabilných máp do ${\displaystyle X}$ triedy ${\displaystyle A}$. Elementy tohto priestoru majú formu ${\displaystyle ((C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n})),f)}$, kde ${\displaystyle (C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n}))}$ je (nie nutne stabilná) krivka s n vyznačenými bodmi ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ a ${\displaystyle f:C\to X}$ je pseudoholomorfná. Moduli priestor má reálny rozmer

${\displaystyle d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.}$

Nech

${\displaystyle \mathrm {st} (C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\in {\bar {M}}_{g,n}}$

označuje stabilizáciu krivky . Nech

${\displaystyle Y:={\bar {M}}_{g,n}\times X^{n},}$

majúce reálny rozmer ${\displaystyle 6g-6+2kn}$. Existuje evaluačná mapa

${\displaystyle \mathrm {ev} :{\bar {M}}_{g,n}(X,A)\to Y}$

definovaná prostredníctvom

${\displaystyle \mathrm {ev} ((C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n})),f)=\left(\mathrm {st} (C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n})),(f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))\right).}$

Evaluačná mapa posiela fundamentálnu triedu ${\displaystyle M}$ do ${\displaystyle d}$-dimenzionálnej racionálnej homologickej triedy v ${\displaystyle Y}$, označovanom

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).}$

V istom zmysle je táto homologická trieda Gromovovým-Wittenovým invariantom ${\displaystyle X}$ pre údaje ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle A}$. . Je invariantom sympletickej izotopnej triedy sympletickej priestorovosti ${\displaystyle X}$.

Pre geometrickú interpretáciu Gromovovho-Wittenovho invariantu, nech ${\displaystyle \beta }$ je homologická trieda v ${\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}}$ a ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ homologické triedy v ${\displaystyle X}$ tak, že suma kodimenzií ${\displaystyle \beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ rovná sa ${\displaystyle d}$. Tieto uvádzajú homologické triedy v ${\displaystyle Y}$ podľa Künnethovho vzorca. Nech

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdot \cdots \cdot \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),}$

kde $$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.