A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Derivace je důležitý pojem matematické analýzy a základ diferenciálního počtu. Derivace funkce je změna (růst či pokles) její hodnoty v poměru ke změně jejího argumentu, pro velmi malé změny argumentu. Výpočet derivace se nazývá derivování. Opačným procesem k derivování je integrování.
Pojem derivace vznikl v 17. století v pracích Newtona a Leibnize při řešení geometrických a fyzikálních problémů. Pro funkci jedné proměnné je derivace funkce v libovolném bodě (pokud existuje) rovna směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě. Pro funkci popisující dráhu tělesa jako funkci času derivace udává okamžitou rychlost. Podobně, derivace funkce udávající rychlost je zrychlení.
Název derivace je z pozdně-latinského derivare a lze jej přeložit jako odvozenina nebo odvození, srov. např. německý název pro derivaci „Ableitung“. Neříká to sice o vlastnostech derivace mnoho, ale aspoň tolik, že derivace funkce je danou funkcí plně určena, dá se z ní odvodit, je v ní „obsažena“.
Intuitivní výklad
Na obrázku je graf funkce, která má v bodě x hodnotu f(x). V bodě x+Δx má hodnotu f(x+Δx) a spojnice obou bodů tvoří sečnu křivky. Její směrnici (sklon) lze vyjádřit jako poměr (f(x+Δx) - f(x)) / Δx . Budeme-li nyní oba body přibližovat, tj. zmenšovat diferenci Δx až k nule, přejde sečna nakonec v tečnu. Tečna svírá úhel s osou x a tangens tohoto úhlu nazýváme směrnicí tečny. Derivaci funkce v bodě lze s dostatečnou přesností aproximovat právě jako tuto směrnici tečny. Je-li v bodě x křivka rostoucí, bude její derivace >0 a je-li klesající, bude derivace <0. Pokud křivka v bodě x dosahuje maxima nebo minima a tečna je tedy rovnoběžná s osou x, bude derivace rovna nule.
Na dalším obrázku je znázorněná grafická derivace funkce sinus pomocí tečny.
Definice derivace
Historické definice derivace
Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné y odpovídá změně nezávisle proměnné x. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako
- .
Derivace je hodnota podílu pro Δx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou dx, získáme intuitivní definici derivace
- ,
což naznačuje poměr dvou infinitezimálních hodnot. Derivace vskutku je podílem dvou diferenciálních forem – diferenciálu závislé a diferenciálu nezávislé proměnné. Tento (Leibnizův) zápis se čte dy podle dx a chápe buď jako jediný symbol, označující prostě jen derivování funkce y podle proměnné x, anebo opravdu i jako zlomek. V tom případě lze diferenciály chápat buď elementárněji jako diferenciální formy anebo jako nekonečně malé veličiny (v rámci tzv. nestandardní analýzy, kterou pěstoval mj. i český matematik Petr Vopěnka).
Moderní definice derivace
Během vývoje matematiky se intuitivní představa nekonečně malých (infinitezimálních) hodnot ukázala jako nedostatečně přesná a byla nahrazena „ε-δ“ formalismem limit. Nejběžnější moderní definice derivace je
Zápis derivace
Derivace se značí několika způsoby (v závorce je čtení zápisu):
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- Newtonova notace používá tečku nad proměnnou: , používá se obvykle pouze ve fyzice pro derivování podle proměnné vyjadřující čas (t).
Diferencovatelnost
Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Pokud je limita nevlastní, pak derivace neexistuje, resp. můžeme říci, že je v daném bodě derivace nevlastní.
Říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná, pokud v tomto bodě existuje vlastní derivace.
Funkce je diferencovatelná na intervalu I, pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu[pozn. 1].
Funkce nemá derivaci v místě, kde není spojitá, ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nevlastní, nekonečné derivaci), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „hrot“, např. funkce absolutní hodnota v x=0). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. Weierstrassova funkce).
Antiderivace
Z derivace lze naopak získat původní funkci integrováním, pokud známe funkční hodnotu původní funkce aspoň v jednom bodě (tzv. počáteční podmínku).
Zobecnění
Parciální derivace
Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. parciální derivace, kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo symbolů d se používají symboly ∂, např.: značí parciální derivaci funkce podle proměnné .
Derivace v normovaných prostorech
Nechť jsou normované prostory, Říkáme, že zobrazení je Fréchetovsky (Gatteauxovsky) derivovatelné v bodě v -té souřadnici pokud zobrazení
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk