V matematice jsou kvaterniony (z lat. quaternion, čtveřice) nekomutativní rozšíření oboru komplexních čísel. Lze je definovat jako uspořádané čtveřice reálných čísel se speciálně definovanými operacemi sčítání a násobení.

Poprvé byly kvaterniony popsány Williamem Rowanem Hamiltonem v roce 1843 a na jeho počest se obvykle označují počátečním písmenem jeho příjmení ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Nejdříve byly považovány za nevhodný a uměle vykonstruovaný objekt, jelikož porušovaly komutativní zákon, postupně ale našly uplatnění jak v teoretické fyzice, tak v aplikované matematice (nyní jsou obvykle pohodlně vystihnuty maticovým počtem, mnohdy za jistou cenu i pomocí vektorů).

Definice

Zatímco komplexní čísla jsou vytvořena z reálných čísel přidáním prvku i splňujícího i² = −1, kvaterniony jsou vytvořeny přidáním prvků i, j a k tak, že jsou splněny následující vztahy.

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,}$

Z nich plyne:

${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}}$

Každý kvaternion je lineární kombinací prvků 1, i, j a k, což znamená, že jej lze psát jako a + bi + cj + dk, kde a, b, c a d jsou reálná čísla.

Příklad

Nechť

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&3+i\\y&=&5i+j-2k\end{matrix}}}$

Pak (při násobení se využívají vztahy uvedené výše)

${\displaystyle {\begin{matrix}x+y&=&3+6i+j-2k\\\\xy&=&(3+i)(5i+j-2k)=15i+3j-6k+5i^{2}+ij-2ik\\&=&15i+3j-6k-5+k+2j=-5+15i+5j-5k\\\end{matrix}}}$

Základní vlastnosti

Množina kvaternionů se v matematice obvykle značí písmenem ${\displaystyle \mathbb {H} }$ (podle objevitele Hamiltona), ℍ v Unicode .

Kvaterniony jsou asociativní algebra s dělením nad tělesem reálných čísel. Je na nich definováno (pravé a levé) dělení a jako množina spolu se sčítáním, násobením a dělením tvoří těleso. Je nekomutativní, jeho centrum je ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Pro kvaternion ${\displaystyle h=a+bi+cj+dk}$ je definován sdružený kvaternion jako ${\displaystyle {\bar {h}}\equiv a-bi-cj-dk}$. Platí, že součin ${\displaystyle h{\bar {h}}={\bar {h}}h=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$ je nezáporné reálné číslo a je rovno nule pouze pro nulový kvaternion ${\displaystyle h=0}$.

Pomocí sdruženého kvaternionu se získá inverzní prvek, ke kvaternionu ${\displaystyle h}$ je inverzní kvaternion ${\displaystyle h^{-1}={\bar {h}}/(h{\bar {h}})}$ (dělení reálným číslem ${\displaystyle h{\bar {h}}}$ je definováno po složkách).

Norma kvaternionu h se definuje jako ${\displaystyle |h|\equiv {\sqrt {h{\bar {h}}}}}$. Norma je homomorfismus násobení, pro kvaterniony h,q platí ${\displaystyle |hq|=|h||q|}$. Z toho plyne, že množina kvaternionů normy 1 tvoří grupu (jádro homomorfismu). Tato množina je trojrozměrná sféra ${\displaystyle S^{3}}$ a jako Lieova grupa je izomorfní ${\displaystyle SU(2)}$ (Jediné sféry, které jsou i Lieovy grupy, jsou ${\displaystyle S^{0}}$, ${\displaystyle S^{1}}$ a ${\displaystyle S^{3}}$).

Grupa automorfizmů kvaternionů je izomorfní ${\displaystyle SO(3)}$. Prvku ${\displaystyle A\in SO(3)}$ se přiřadí automorfismus ${\displaystyle a+\mathbf {v} \mapsto a+A\mathbf {v} }$, kde ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}}$ a ${\displaystyle a+\mathbf {v} :=a+iv^{1}+jv^{2}+kv^{3}}$ pro $$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Kvaternion
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.