A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Umocňovanie je matematická funkcia, ktorá vyjadruje opakované násobenie. Umocňovanie je s násobením v podobnom vzťahu, v akom je samo násobenie ku sčítaniu. Výsledok umocňovania sa nazýva mocnina.
Umocňovanie slúži na skrátenie zápisu viacnásobného násobenia:
V tomto vzorci sa a označuje ako základ mocniny alebo mocnenec a b sa nazýva exponent (mocniny) alebo mocniteľ. Výsledkom je b-tá mocnina čísla a, a na b-tu. Špeciálnym prípadom prázdneho súčinu je a0 = 1 (pre a ≠ 0, pozri nižšie).
Keď sa nedá písať exponent na hornú pozíciu, používa sa často zápis v tvare a^b, niekedy tiež aj a**b.[1]
Zovšeobecnenie definície
Vyššie uvedená definícia umocňovania ako opakovaného násobenia je použiteľná iba pre prirodzené exponenty. Záporné exponenty označujú mocninu prevráteného čísla:
Zovšeobecnenie pre racionálny exponent poskytuje definícia:
- .
Zovšeobecnenie na celý obor reálnych čísel (tj. rozšírenie definície o mocniny s iracionálnymi exponentami) sa potom dosahuje dodefinovaním pomocou limity.
Mocniny s komplexným základom sú definované nasledujúcim spôsobom: Ak je s reálnymi číslami a, b, n, r > 0 a φ, potom platí
Ak je navyše exponent a číslo všeobecne komplexné, potom je mocnina daná ako
kde argument φ má nutne skok, ktorého polohu však možno zvoliť. Volí sa spravidla φ z intervalu <0;2π) alebo (-π;π>. Teda mocnina je všeobecne viacznačná funkcia a pokiaľ nie je a celé číslo, mocnina nie je na celej komplexnej rovine holomorfná.
Vlastnosti
- pre a ≠ 0 (pre 00 pozri nižšie)
Umocňovanie nie je všeobecne komutatívne (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).
Nula na nultú
Výraz 00 nie je celkom všeobecne definovaný. Napríklad limita v tomto tvare je tzv. neurčitý výraz a pre jej vyčíslenie je potrebné použiť inú techniku (napr. L’Hospitalovo pravidlo). Dôvodom pre túto nedefinovanosť je dvojitý pohľad na tento výraz: Prvý pohľad na výraz hľadí ako na funkciu x0, ktorá je všade (okrem nuly) rovná jednej, takže je možno ju v nule dodefinovať rovnako a kladie sa 00 = 1. Naopak druhý pohľad vychádza z funkcie 0x, ktorá je všade (okrem nuly) nulová, takže sa v nule dodefinuje 00 = 0.
V bežných situáciach sa používa hlavne prvá definícia, podľa ktorej je
- 00 = 1,
inokedy je 00 ponechané nedefinované, v niektorých kontextoch je možné sa stretnúť i s použitím druhej definície.
Pre použitie prvej definície existuje niekoľko závažných dôvodov, medzi najdôležitejšie patrí binomická veta, pre ktorej všeobecnú platnosť je táto definícia vyžadovaná.
Mocniny nuly
Ak je mocniteľ kladný, tak je mocnina nuly nula. 0x = 0, kde x > 0.
Pokiaľ je mocniteľ záporný, potom je mocnina nuly (0−x, kde x > 0) nedefinovaná, pretože delenie nulou nie je na množine reálnych čísel definované.
Zvláštne mocniny
V každodennom živote často používame mocniny so základom desať (to sú 1, 10, 100, 1000, …). Tieto mocniny tvoria základ našej desiatkovej číselnej sústavy, ako i v sústave SI sú predpony násobkov jednotiek označením mocnín desiatich – 1 kg = 10³ g apod.
Počítače pri spracovaní dát používajú dvojkovú sústavu, založenú na mocninách čísla 2. Z toho dôvodu sa niekedy v informatike používajú násobky jednotiek ako mocniny so základom 2 – 1 KiB = 210 B = 1024 B. (pozri tiež binárny prefix.)
V matematike sú zvlášť dôležité mocniny so základom e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerovho čísla.
Rýchlosť rastu
Mocnina je veľmi rýchlo rastúca funkcia, jedna z najrýchlejšie rastúcich bežne používaných funkcií. Príkladom rýchlosti rastu je nasledujúce pozorovanie:
- Príklad 1
List papiera sa dá obvykle preložiť (na polovicu) iba asi sedemkrát. Výsledkom je 128 (27) vrstiev papiera. Ak by (teoreticky) takýto papier bol preložený 42-krát, vrstva papiera by mala hrúbku rovnajúcu sa vzdialenosti zo Zeme na Mesiac.
- Príklad 2
Každý človek má dvoch biologických rodičov, štyroch prarodičov, osem praprarodičov atď. Ak sledujeme tento rodokmeň ďalej, dajme tomu 70 generácií, dostaneme sa až do doby narodenia Ježiša Krista. V tomto prípade počet predkov každého človeka predstavuje 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 ľudí. To výrazne presahuje počet všetkých doposiaľ žijúcich ľudí.
Referencie
- ↑ K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, .
Pozri aj
Externé odkazy
- (po anglicky) Koľko je 00? v sci.math FAQ
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk