Trojúhelník (symbol △) je základní geometrický útvar, který má tři vrcholy a tři strany. V euklidovské geometrii jakékoliv tři body neležící v jedné přímce určují právě jeden trojúhelník a právě jednu rovinu v dvourozměrném euklidovském prostoru (2D). Trojúhelník s vrcholy A, B, C označujeme ${\displaystyle \triangle ABC}$, proti vrcholům leží strany a, b, c, vnitřní úhly označujeme řeckými písmeny (α, β, γ). Součet vnitřních úhlů takového trojúhelníku je roven 180° (tj. π v obloukové míře). Pokud není uvedeno jinak, týká se článek pouze Euklidovské geometrie a Euklidovské roviny.

Mimo euklidovskou geometrii existuje sférický trojúhelník na kulové ploše (např. dostatečně velký trojúhelník vyznačený na povrchu zeměkoule), který má součet velikostí vnitřních úhlů vždy větší než 180° a trojúhelník v hyperbolické (Lobačevského) rovině (tj. trojúhelník na vnitřním povrchu koule) vždy menší než 180°.

Základní pojmy

Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníku. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníku. Vedlejší úhly k vnitřním úhlům se nazývají vnější úhly trojúhelníka (u každého vrcholu jsou dva, vnější úhel je doplněk vnitřního úhlu do 180°).^[1] Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů. Trojúhelník nemá úhlopříčky.

Označíme-li vrcholy trojúhelníka velkými tiskacími písmeny A, B, C, pak trojúhelník označujeme jako ${\displaystyle \triangle ABC}$. Takový trojúhelník má strany označené malými písmeny a, b, c tak, že stejnojmenná strana leží vždy proti stejně označenému vrcholu (tj. proti vrcholu A leží strana a, proti vrcholu B leží strana b atd.). Vnitřní úhly se označují popořadě řeckými písmeny (tj. u vrcholu A leží vnitřní úhel α, u vrcholu B leží β, u vrcholu C leží γ). Podobně se postupuje při označení trojúhelníka jinými písmeny, např. ${\displaystyle \triangle KLM}$. Při označení trojúhelníka má význam pořadí stran (jedná se obvykle o různé trojúhelníky), což se využívá například u podobnosti trojúhelníků.

Druhy trojúhelníků

Eukleidés napsal již před dvěma tisíci lety knihu Základy, kde popisuje trojúhelník jako jeden ze základních geometrických elementů. Druhy trojúhelníků jsou od té doby buď přímými překlady z řečtiny nebo latiny.

Podle stran

Euklidés definoval podle délky stran tři druhy trojúhelníků:

• Obecný trojúhelník (též různostranný) – žádné dvě strany nejsou shodné (řecky σκαληνὸν, čti skalinón, znamená nestejné)
• Rovnoramenný trojúhelník – dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou (řecky ἰσοσκελὲς, čti isoskelés, znamená stejné nohy)
• Rovnostranný trojúhelník – všechny strany jsou shodné (řecky ἰσόπλευρον, čti isópleuron, znamená stejné strany)

Obecný	Rovnostranný	Rovnoramenný

Podle úhlů

• Ostroúhlý trojúhelník – všechny vnitřní úhly jsou ostré
• Pravoúhlý trojúhelník – jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré
• Tupoúhlý trojúhelník – jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré

Ostroúhlý	Pravoúhlý	Tupoúhlý

Obvod a obsah

Obvod trojúhelníku o vypočteme jako součet všech jeho stran:

${\displaystyle o=a+b+c}$ , kde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ jsou strany trojúhelníku

Obsah trojúhelníku S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

${\displaystyle S=v_{a}\cdot {a \over 2}={v_{a}\cdot a \over 2}}$, kde ${\displaystyle v_{a}}$ je výška příslušná straně a

Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníku vypočítat podle Heronova vzorce

${\displaystyle s={o \over 2}}$, kde ${\displaystyle o}$ je obvod trojúhelníku

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice opsané (${\displaystyle r}$):

${\displaystyle S={\frac {abc}{4r}}=2r^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice vepsané (${\displaystyle \rho }$):

${\displaystyle S={\frac {a+b+c}{2}}\rho }$

Obsah trojúhelníku pomocí vnitřního úhlu:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\,\sin \gamma ={\frac {1}{2}}ac\,\sin \beta ={\frac {1}{2}}bc\,\sin \alpha }$

Obsah obecného trojúhelníku v rovině kde (a_x,a_y), (b_x,b_y), (c_x,c_y) jsou souřadnice vrcholů (vychází z vektorového součinu, použití hlavně v grafice):

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}|(c_{x}-a_{x})(b_{y}-a_{y})-(c_{y}-a_{y})(b_{x}-a_{x})|}$

nebo:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}||}$

Použije-li se předcházející vzorec bez absolutní hodnoty, lze jej využít pro ověření zda bod (d_x,d_y) leží uvnitř trojúhelníku ABC. V případě, že leží, tak znaménka obsahů všech čtyř trojúhelníků ABC, ABD, BCD a CAD jsou stejná. Leží-li vně, nemají všechny obsahy stejné znaménko. To je kladné, obíhájí-li vrcholy ve směru hodinových ručiček.

Věty o trojúhelníku

V pravoúhlém trojúhelníku platí:

• Pythagorova věta (c² = a² + b²)

• Euklidova věta o výšce

V jakémkoliv obecném trojúhelníku platí:

• sinová věta
• kosinová věta (zobecnění Pythagorovy věty na nepravoúhlý trojúhelník)
• tangentová věta

Vlastnosti trojúhelníku

Trojúhelníková nerovnost

Strany trojúhelníku splňují větu o trojúhelníkové nerovnosti. Součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy delší než strana třetí, neboli:

a + b > c

a + c > b

b + c > a

Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Trojúhelník
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---