A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Limita je v matematike hodnota, ku ktorej sa "približuje" premenlivá hodnota.
Limita funkcie sa používa na opis správania sa funkcie, keď sa jej argument "približuje" k nejakému bodu alebo rastie do nekonečna. Limity sa využívajú v matematickej analýze na definovanie derivácie a spojitosti.
Koncept "limity funkcie" sa dá ďalej zovšeobecniť na topologickú sieť a limita postupnosti úzko spojená s limitou a priamou limitou v teórii kategórií.
Limita funkcie
Nech f je reálna funkcia a c je reálne číslo. Výraz:
znamená, že hodnota f(x) sa dá ľubovoľne priblížiť k L tak, že sa x dostane dostatočne blízko k c. Potom hovoríme, že "limita funkcie f v bode c (alebo ako sa f približuje k c) je L". Limita môže existovať dokonca aj keď . Funkcia f nemusí byť ani definovaná v bode c.
Uvažujme ako sa x približuje k 2. V tomto prípade je funkcia f definovaná v bode 2 a jej hodnota 0,4 sa rovná limite v tomto bode:
f(1.9) | f(1.99) | f(1.999) | f(2) | f(2.001) | f(2.01) | f(2.1) |
0.4121 | 0.4012 | 0.4001 | 0.4 | 0.3998 | 0.3988 | 0.3882 |
Ako sa x približuje k 2, hodnoty f(x) sa približujú k 0,4 a preto môžeme napísať .
Ale nie vždy je to také jednoduché.
Uvažujme
Limita funkcie g ako sa x približuje k 2 je 0,4 (tak ako v prípade funkcie f), ale ; funkcia g nie je spojitá v bode x = 2.
Alebo majme ešte funkciu f, ktorá je nedefinovaná v bode x = c.
V tomto prípade ako sa x približuje k 1, funkcia f je nedefinovaná v bode x = 1, ale jej limita v tomto bode existuje a rovná sa 2:
f(0.9) | f(0.99) | f(0.999) | f(1.0) | f(1.001) | f(1.01) | f(1.1) |
1.95 | 1.99 | 1.999 | nedef. | 2.001 | 2.010 | 2.10 |
Teda x sa môže približovať k 1, pokiaľ sa nebude rovnať 1, takže limita funkcie f v bode 1 je 2.
Formálna definícia
Limitu formálne definujeme nasledovne:
Nech je funkcia a bod c je hromadný bod na jej definičnom obore (teda v každom prstencovom okolí bodu c sa nachádza aspoň jeden prvok z definičného oboru funkcie f). Nech L je reálne číslo. Potom zápis
znamená, že pre každé existuje také, že pre všetky , kde , platí .
Limita funkcie v nekonečne
Limitu funkcie môžeme rozšíriť z prípadov približovania sa k reálnemu číslu na približovanie sa k nekonečnu. V týchto prípadoch toto približovanie sa k nekonečnu vlastne znamená, že x je stále väčšie a väčšie ("približuje" sa ku kladnému nekonečnu) alebo je stále menšie a menšie ("približuje" sa k zápornému nekonečnu).
Majme napríklad funkciu .
- f(100) = 1.9802
- f(1000) = 1.9980
- f(10000) = 1.9998
Postupne ako sa x stáva veľmi veľkým, hodnota f(x) sa približuje k 2 a dá sa priblížiť ľubovoľne blízko k 2 výberom dostatočne veľkého x. V takomto prípade hovoríme, že limita funkcie f ako sa sa jej argument približuje k nekonečnu je 2. V matematickom zápise:
Formálne môžeme napísať túto definíciu:
- (definotoricky) len vtedy a vtedy, keď pre každé existuje také, že pre všetky
Podobnú definíciu môžeme urobiť pre .
Limita postupnosti
Uvažujme nasledujúcu postupnosť: 1,79; 1,799; 1,7999, ... Vidíme, že čísla sa postupne „približujú“ k číslu 1,8 -- limite postupnosti.
Formálne, predpokladajme, že x1, x2 je postupnosť reálnych čísel. Hovoríme, že reálne číslo L je limita tejto postupnosti a zapisujeme ako
(definitoricky) len vtedy a vtedy, ak
- pre každé ε>0 existuje prirodzené číslo n0 také, že pre všetky n>n0 platí |xn - L| < ε.
Intuitívne to znamená, že niekedy všetky prvky postupnosti sa dostanú tak blízko k limite, ako len budeme chcieť, keďže absolútna hodnota |xn - L| sa dá interpretovať ako vzdialenosť xn od L. Nie každá postupnosť má limitu; ak ju má, voláme ju konvergentná, inak je divergentná. Dá sa ukázať, že ak limita existuje, je jediná.
Limita postupnosti a limita funkcie sú, samozrejme, veľmi úzko späté. Postupnosť nie je nič iné ako funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Keďže jediným hromadným bodom tejto množiny je kladné nekonečno, má zmysel skúmať limitu iba tu. Vyššie spomenutá definícia je len rozpísanie limity funkcie v nekonečne a ekvivalentne upravenej pre prirodzené čísla. Na druhej strane sa dá tento špeciálny prípad -- limita postupnosti -- použiť aj na definovanie limity funkcie, keďže limita funkcie f v bode x sa rovná limite postupnosti xn=f(x+1/n) (ak existuje).
Vo všeobecnej situácii je ťažké ak nie nemožné zistiť či postupnosť má limitu tým, že sa overí definícia - teda že sa nájde limita. Ak uvažujeme o postupnosti reálnych čísel a o jej (prípadnej) reálnej limite, tak máme Cauchy-Bolzanove kritérium existencie limity, ktoré neoperuje samotnou hodnotou limity: postupnosť reálnych čísel je konvergentná (t. j. má limitu) práve vtedy keď pre každé existuje že pre všetky je . Slovne povedané: postupnosť má limitu práve vtedy keď pre každú presnosť existuje také prirodzené číslo, že ak vyberieme ľubovoľne dva prvky z postupnosti ktorých poradové číslo je väčšie ako dotyčné prirodzené číslo, tak to už zaručí, že vybrané dva prvky postupnosti sú k sebe bližšie ako .
Externé odkazy
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk