A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Okruh je jedna zo základných štruktúr v algebre.
Na množine celých čísel definujeme klasickým spôsobom binárnu operáciu sčítanie. Celé čísla tvoria vzhľadom na sčítanie abelovskú grupu. No na tejto množine vieme definovať aj násobenie, ktoré je so sčítaním zviazené distributívnym zákonom. Podobných štruktúr poznáme veľmi veľa (pozri aj sekciu Príklady) a je tak výhodné urobiť ich abstrakciu a študovať ich všetky naraz.
Definícia
Okruh je usporiadaná trojica (M, +, *), kde
- M je ľubovoľná množina, + a * sú binárne operácie na M,
- (M, +) je abelovská grupa,
- (M, *) je pologrupa,
- * je distributívna vzhľadom na + z oboch strán.
Inak povedané (ak rozpíšeme definície abelovskej grupy, pologrupy a distributívnosti v definícii), platí:
- + je asociatívna operácia a komutatívna operácia na M,
- operácia + má neutrálny prvok (ktorý zvykneme volať nulou okruhu),
- ku každému prvku a z M existuje k nemu inverzný (ktorý voláme prvkom opačným k a a symbolicky zapisujeme ),
- * je asociatívna operácia na M,
- a .
Ak operácia * je komutatívna, hovoríme o komutatívnom okruhu.
Ak existuje neutrálny prvok vzhľadom na *, hovoríme, o okruhu s jednotkou a tento neutrálny prvok nazývame jednotkou okruhu.
Komutatívny okruh s jednotkou, v ktorom platí zákon nenulového súčinu, nazývame obor integrity.
Ak ku každému prvku okrem nuly v okruhu s jednotkou existuje inverzný (vzhľadom na operáciu *) (t. j. je grupa), hovoríme o telese.
Komutatívne teleso nazývame pole.
Jednoduché vety
Nie je ťažké dokázať, že v každom okruhu platia nasledujúce vzťahy:
- ak sú invertibilné (t. j. existujú k obom inverzné prvky), potom .
V každom netriviálnom okruhu s jednotkou (t. j. ktorý má aspoň dva prvky) je jednotka vždy rôzna od nuly.
Príklady
- celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla, komplexné čísla vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (posledné tri sú polia),
- kvaternióny vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (tvoria teleso),
- zvyškové triedy podľa prvočíselného modulu (tvoria pole),
- reálne spojité funkcie nad daným intervalom vzhľadom na sčítanie a násobenie funkcií,
- všetky polynómy s koeficientami z daného okruhu (okruh polynómov),
- štvorcové matice nad daným poľom vzhľadom na maticové sčítanie a násobenie,
- endomorfizmy danej grupy vzhľadom na sčítanie a skladanie zobrazení (okruh endomorfizmov),
- potenčná množina danej množiny vzhľadom na symetrickú diferenciu a prienik,
Konštrukcia nových okruhov
Nech je daný okruh (A, +, *). Hovoríme, že (B, +', *') je podokruh okruhu A, ak
- ,
- +' je zúžením operácie + na B,
- *' je zúžením operácie * na B.
Nech C je ľubovoľná podmnožina A. Najmenší podokruh okruhu A (s indukovanými operáciami) obsahujúci množinu C nazývame podokruhom generovaným množinou C (symbolicky zapisujeme ). Takýto podokruh existuje vždy práve jeden.
Nech teraz A je komutatívny okruh s jednotkou a nech jednotka patrí aj podokruhu B, nech u je ľubovoľný prvok z A, potom sa dá dokázať, že:
Podokruh symbolicky zapisujeme .
Direktný (priamy) súčet okruhov (A,+,*) a (B,+',*') je okruh , kde
- ,
- .
Centrum okruhu je jeho podokruh prvkov, ktoré komutujú so všetkými ostatnými.
Ak je daný ľubovoľný ideál I okruhu A, existuje k nemu faktorový okruh A/I.
Externé odkazy
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk