Tečna ke křivce je přímka, která má v bodě dotyku stejný směrový vektor jako tato křivka^[1]. Křivka může být zadána jako graf funkce jedné proměnné. Zpravidla (pro nelineární funkce) má tečna s křivkou lokálně v okolí bodu dotyku společný jeden bod a zpravidla (mimo inflexní body) leží okolní body křivky ve stejné polorovině určené tečnou.

Tečna ke kuželosečce

Pro regulární kuželosečky (elipsa, parabola, hyperbola, kružnice) je možné zavést tečnu jako přímku, která má s kuželosečkou jeden dvojnásobný průsečík. Diskriminant kvadratické rovnice pro nalezení průsečíků je tedy nulový.

Středové rovnice kuželoseček a jejich tečen v bodě ${\displaystyle }$ jsou shrnuty v následující tabulce^[2]. (Uvažujeme pouze regulární kuželosečky. Pro ostatní kuželosečky není potřebné pojem tečny zavádět, protože přímkové singulární kuželosečky jsou samy svojí tečnou a v ostatních případech tečnu neuvažujeme.)

Kuželosečka	Středová rovnice kuželosečky	Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle }$
Kružnice	${\displaystyle (x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-m)(x-m)+(y_{0}-n)(y-n)=r^{2}}$
Elipsa	${\displaystyle {\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {(x_{0}-m)(x-m)}{a^{2}}}+{\frac {(y_{0}-n)(y-n)}{b^{2}}}=1}$
Parabola	${\displaystyle (x-m)^{2}=2p(y-n)}$	${\displaystyle (x_{0}-m)(x-m)=p(y_{0}-n)+p(y-n)}$
Hyperbola	${\displaystyle {\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {(x_{0}-m)(x-m)}{a^{2}}}-{\frac {(y_{0}-n)(y-n)}{b^{2}}}=1}$

Každým bodem ležícím vně kružnice lze vést dvě tečny k této kružnici. Každá tečna je kolmá k poloměru kružnice, proto používáme pro její sestrojení Thaletovu kružnici.

Poznámka. Přístup známý z analytické geometrie kuželoseček, kdy je tečna definována jako přímka mající s regulární kuželosečkou společný jeden bod, je nepřenositelný na obecnější křivky. Proto se obecnější definice tečny v diferenciální geometrii liší od zavedení tohoto pojmu v teorii kuželoseček.

Tečna ke grafu funkce dané explicitně

Diferencovatelná funkce ${\displaystyle y=f(x)}$ má v bodě ${\displaystyle x_{0}}$ tečnu danou rovnicí

$${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),}$$

${\displaystyle f'(x_{0})}$

Poznámka (svislá tečna). Tento vztah je obvyklou definicí tečny v diferenciálním počtu funkce jedné proměnné. Nepokrývá však například skutečnost, že svislá přímka ${\displaystyle x=0}$ je tečnou ke grafu funkce ${\displaystyle y={\sqrt{x}}}$.

Poznámka (inflexní bod). Bod, kde se funkce mění z konvexní na konkávní se nazývá inflexní bod. V tomto bodě nezůstává graf funkce v jedné polorovině definované tečnou, ale přechází z jedné poloroviny do druhé.

Tečna ke grafu funkce dané implicitně

Funkce daná v okolí bodu ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ implicitně rovnicí ${\displaystyle f(x,y)=0}$ má v tomto bodě tečnu o rovnici

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0.}$$

Poznámka (svislá tečna). Na rozdíl od předchozího odstavce, tento vztah již pokrývá skutečnost, že přímka ${\displaystyle x=0}$ je tečnou ke grafu funkce ${\displaystyle y={\sqrt{x}}}$. K získání rovnice tečny stačí tento vztah přepsat do tvaru ${\displaystyle y^{3}-x=0.}$

Tečna ke grafu parametrické funkce

Tečna ke grafu funkce dané parametricky rovnicemi

www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk